bảng hệ thống phương pháp chứng minh
tứ giác nội tiếp một đường tròn

Thứ tự cách chứng minh
Hệ thức


Hình vẽ minh hoạ


Cách 1
OA = OB = OC = OD


Cách 2
2.a)

2.b) (A1 = (C1


Cách 3
(A1 + (C1 = 900 + 900


Cách 4




Cách 5
(A1 = (B1 = 900


Cách 6
MA . MB = MC . MD






(Hình bên phải tứ giác
ACBD nội tiếp)

 Kết hợp với tính chất của tứ giác nội tiếp ta có : điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O là thoả mãn một trong các hệ thức trên.
Ví dụ 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) gặp nhau ở A và B, tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) gặp (O’) ở M; Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O’) gặp (O) tại N. Lấy điểm E đối xứng với A qua B . Chứng minh tứ giác AMEN nội tiếp một đường tròn.
Phân tích:
C/m tứ giác ANEM nội tiếp một đường tròn (1) mà ta thấy E đối xứng với A qua B.
Vậy là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ANEM nằm trên đường trung trực của đoạn AE, và như thế
tâm của đường tròn này cũng nằm trên trung trực của các đoạn thẳng nào? (Đoạn AN và AM )

 Vậy để chứng minh (1) ta có thể dùng cách 1 để sử dụng tính chất của đường trung trực của một đoạn thẳng suy ra .
Gọi I là giao hai trung trực của AN và AM thì: (1) ( IA = IN = IE = IM (2). Thật vậy: OI // AO’ (cùng ( AN ) và AO // O’I (cùng ( AM ) => AOIO’ là hình bình hành => (OIO’ = (OAO’ = (OBO’ => OIBO’ là tứ giác nội tiếp (theo cách 4) nhưng OI = AO’ = O’B => OIBO’ là hình thang cân => IB // OO’ (3) => IB ( AB => IB là đường trung trực của AE => IA = IN = IE = IM => (2) => (1) đpcm.
Chú ý: cũng có thể chứng minh (3) bằng cách chứng minh OO’ là đường trung bình của tam giác AIB .

Cách 2: (1) <=
<=


(4) <= cùng bằng 1/2 số đo cung AB
của đường tròng (O).
(5) <= Tam giác EBN và tam giác
MBE đồng dạng
<=

(6) <= Tam giác ABN và tam giác MBA đồng dạng (góc-góc)
(7) <=
<= Tam giác ABN và tam giác MBA đồng dạng (góc-góc)

Cách 3:










Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.
Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt AB kéo dài tại E’, ta chứng minh E ( E’ bằng cách chứng minh AB= BE’ (vì E đối xứng với A qua B)
Gọi K và H lần lượt là giao điểm của OO’ với AI và AB
Ta có KA=KI (do AOIO’ là hình bình hành) và AH=HB (do OO’ là đường nối hai tâm). Do đó HK//BI ( BI//OO’ mà AB(OO’ suy ra IB(AB , bởi vậy AB=BE’ (do tam giác AIE’ cân tại I), nghĩa là E’(E


Ví dụ 2: Trên ( O; R ) lấy 2 điểm A, B sao cho AB < 2R . Gọi giao điểm của các tiếp tuyến của (O) tạ